Übung 1

Mächtigkeit einer Menge: Die Mächtigkeit oder Kardinalität einer Menge ist entweder die Anzahl ihrer Elemente oder sie ist “unendlich”. Unendlich heißt sie, wenn es für jedes n ∈ N eine Teilmenge der Mächtigkeit n gibt. Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn es zwischen ihnen eine eins-zu-eins Abbildung (“Bijektion”) gibt.

Abzählbarkeit: Eine Menge heißt abzählbar unendlich, wenn sie gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen $N = {1, 2, 3}$ ist. Anders ausgedrückt: es gibt eine “Abzählung” der Menge, d.h. einem Element kann die 1, einem die 2 usw. zugeordnet werden.

Übung 1.1:

Zeigen Sie:

a) Die Mengen der geraden und ungeraden positiven Zahlen sind gleich mächtig.

b) Die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z} = \{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$ ist abzählbar unendlich, d.h. genauso mächtig wie die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}$.

Übung 1.2:

Sie sind Portier in einem Hotel mit abzählbar unendlich vielen Betten, die alle belegt sind.

a) Es kommt noch ein Gast. Bringen Sie ihn unter!

b) Es kommt ein Bus mit abzählbar unendlich vielen Gästen. Bringen Sie die auch noch unter!

Übung 1.3:

Betrachten Sie die folgenden formalen Definitionen von Mengen und geben Sie an, welche Zahlen sie enthalten:

a) $A=\{n\in\mathbb{N}\mid\exists m\in\mathbb{N}:n=2m\}$

b) $B=\{n\in\mathbb{N}\mid\exists m,k\in\mathbb{N}:n=2m\wedge n=3k\}$

c) $C=\{n\in\mathbb{N}\mid n=n+1\}$